Fractals
Home Foto-serie fractals Home Foto-serie fractals
03-Voorbeeld met reële getallen
Een vereenvoudigd voorbeeld met reële getallen. Een reëel getal is elk getal dat eenduidig op de getallenlijn ligt; het kan zowel rationeel (een geheel getal of een breuk) als irrationeel zijn (bij voorbeeld het getal π, dat niet als breuk geschreven kan worden en oneindig veel decimalen heeft) Wanneer we het getal 1 iteratief kwadrateren en de uitkomst dus ook weer kwadrateren, dan blijven alle uitkomsten =1. 1²=1, 1²=1, enz. Wanneer we een getal groter dan 1 iteratief kwadrateren, loopt de uitkomst naar oneindig. We gaan uit van het getal 5. 5² = 25  25² = 625 625² = 390.625 390.625² = 152.587.890.625 152.587.890.625² = 23.283.064.365.387.000.000.000 = 23*10^21 (23*10^21)² = 542. 10^42 (542*10^42)² = 294*10^87 De waarde nadert dus tot oneindig. Stellen we voor de praktijk oneindig gelijk aan of groter dan 1 miljoen, dan is deze waarde in 4 stappen overschreden. Wanneer we een getal kleiner dan 1 iteratief kwadrateren, loopt de uitkomst naar nul. We gaan uit van het getal 1/5 ofwel 0,2. 0,2² = 0,04 0,04² = 0,001.6 0,0016² = 0,000.002.56 00000256² = 0,000.000.000.006.55 De waarde nadert dus tot 0. Stellen we voor de praktijk nul gelijk aan of kleiner dan 1/1.000.000 ofwel 0,000.001, dan is deze waarde in 3 stappen onderschreden. Hoe dichter een getal bij de waarde 1 ligt, hoe meer iteraties nodig zijn om de gekozen grenswaarde te overschrijden. Gaan we uit van het getal 1,001, dan wordt pas bij de 14e stap de waarde van 1.000.000 overschreden. Dus hoe dichter een getal bij de waarde 1 ligt, hoe meer stappen nodig zijn om de gekozen waarde die we nul of oneindig noemen, te overschrijden. De volgende tabel geeft voor een aantal getallen aan hoeveel iteratiestappen nodig zijn om de waarde van 1.000.000 te overschrijden. We zien hier duidelijk dat punten dicht bij het getal 1 moeite hebben om van deze waarde weg te komen.
Bij het berekenen van Fractals gebruiken we gelijke intervallen. We zetten nu de startwaarden uit de eerste kolom uit langs een getallenlijn en geven het aantal iteratiestappen uit de tweede kolom van bovenstaande tabel een gekozen kleur en wel als volgt:  3 iteraties oranje  4 iteraties rood  5 iteraties blauw  6 iteraties groen  Bij meer dan 6 iteraties liggen de kleuren te dicht bij elkaar om    deze goed weer te geven. Dit gebied kleuren we zwart. Deze grafiek  zal er altijd het zelfde uit zien; wel kunnen we door de schaal te veranderen meer of minder details zien. Nu gaan we een willekeurige constante toevoegen, zoals we dat ook bij fractals doen, b.v. 0,1. Deze constante voegen we dan toe aan elk kwadraat, vóórdat we de volgende iteratiestap gaan uitvoeren, dus vóórdat we verder gaan kwadrateren. We gaan weer uit van het getal 5 waaraan we de storingsterm van 0,1toevoegen. We krijgen dan: (5+0,1)²=26  (26+0,1)²=682 (682+0,1)²=464.895 (464.895+0,1)²= 216.127.465.710 (216.127.465.710+0,1)²= 46.711.081.434.464.900.000.000 (46.711.081.434.464.900.000.000+0,1)²= 2.181.925.128.777.210*10^30 (2.181.925.128.777.210*10^30)²= 4,7 * 10^90 De waarde nadert ook hier weer tot oneindig. Stellen voor de praktijk oneindig weer gelijk aan of groter dan 1 miljoen, dan is deze waarde in 4 stappen overschreden. We nemen als voorbeeld achtereenvolgens vier verschillende constanten, c = 0, c = 0,1, c = 0,3 en c = 7. De eerste twee gevallen hebben we hierboven al uitgewerkt. De tabel komt er als volgt uit te zien:
Bij de niet ingevulde waarden liet de computer het afweten.
Voor elke waarde van c vinden we dus een andere kleurenbalk. Omdat er oneindig veel waarden van c zijn, zijn er oneindig veel verschillende kleurenbalken. We hebben hier dus een methode om een eigenschap van de getallen op de getallenlijn weer te geven door een kleur.
04-Complexe getallen Index 04-Complexe getallen Index